Conversion entre systèmes de numération

Objectifs spécifiques :

-    Définir transcodage

-   Effectuer la conversion d’une base B1 vers une autre base B2 

I- Définition 

Le transcodage (ou conversion de base) est l’opération qui permet de passer de la représentation d’un nombre exprimé dans une base à la représentation du même nombre dans une autre base.

 II- Conversion dans les bases

Les conversions peuvent se faire :

•       De la base 10 vers une base B (2, 8 ou 16)
•       D’une base B (2, 8 ou 16) vers la base 10
•       De la base 2 vers les bases 8 et 16
•       D’une base 8 ou 16 vers la base 2

II.1. Conversion de la base 10 vers une base B (2, 8 ou 16)

Méthode

Pour convertir un nombre N de la base 10 vers une base B (2, 8 ou 16), la méthode à suivre est la suivante :

• On divise le nombre N par la base B
• On divise par suite le quotient par la même base B
• Ainsi de suite jusqu’à obtenir un quotient nul
• La suite des restes correspond aux symboles de la base visée
• On obtient en premier le chiffre le dernier reste de la division et en dernier chiffre le premier reste de la division

Exemple 1 : Conversion de la base 10 à la base 2

Soit à convertir le nombre 19 en binaire (base 2)

Remarque : En base 16, lorsqu’un des reste est compris entre 10 et 15, on le remplace par son équivalent en hexadécimal avant d’écrire le résultat.

Exemple 2 : Conversion de la base 10 vers la base 16

 II.2. Conversion d’une base B (2, 8, ou 16) vers la base 10

Méthode

Pour convertir un nombre d’une base B (2, 8, ou 16) vers la base 10, la méthode à suivre est la suivante :

• On numérote chaque symbole du nombre à convertir en commençant de la gauche vers la droite et le premier numéro étant 0
• On multiplie chaque symbole à convertir par B à la puissance de son numéro trouvé à l’étape précédente et on fait la somme
• On effectue l’opération trouvée à l’étape précédente
• On écrit convenablement le résultat

Exemple1 (Conversion de la base 2 vers la base 10)

Soit à convertir le nombre binaire 111001 et base 10

1. 1)On numérote chaque symbole du nombre binaire de la gauche vers la droite en commençant par 0
2. 111001
3. 543210
4. 2)On multiplie chaque symbole par 2 à la puissance de sa position trouvée à l’étape 1 et on fait la somme

1×2⁵+1×2⁴+1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰

1. 3)On effectue l’opération trouvée à l’étape 2)

36+16+8+0+0+1=57

1. 4)On écrit convenablement le résultat

(111001)₂=(57)₁₀

Remarque : Lorsqu’un des symboles du nombre à convertir est une lettre, on le remplace par son équivalent décimal avant de faire la multiplication.

II.3 Conversion de la base 2 vers les bases 8 et 16

Pour convertir un nombre de la base 2 vers la base 8 ou 16, on peut appliquer l’une des méthodes ci-après :

Méthode I :

•      Convertir le nombre binaire vers la base 10 en suivant la méthode du II.2)
•      Convertir ensuite ce nombre de la base 10 vers la base 8 ou 16 en suivant la méthode du II.1)

Exemple : Soit à convertir le nombre binaire suivant 11001 en Octal

1. 1) On convertie d’abord le nombre en décimal

(11001)₂≡1×2⁴+1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰≡16+8+0+0+1≡(25)₁₀

1. 2)On convertie le nombre décimal dans la base 8

(25)10≡3×8¹+1×8⁰≡(31)_8. D’où (11001)₂=(31)₈

• Méthode II :
•      Décomposer le nombre binaire en tranche de 3 symboles (pour la base 8) ou de 4 (pour la base 16) à partir du dernier symbole
•      Compléter la dernière tranche par des 0 s’il y a lieu
•      Convertir chaque tranche par son équivalent octal ou hexadécimal (voir tableau d’équivalence)
•      Remplacer chaque tranche par son symbole équivalent trouvé à l’étape précédente.

Exemple : Soit à convertir le nombre binaire suivant 111011 en hexadécimal

1. 1)On décompose le nombre binaire en tranche de 4 en partant de la gauche vers la droite
2. (11)(1011)
3. 2)On complète la dernière tranche par des 0 s’il y’a lieu
4. (0011)(1011).
5. 3)On convertie chaque tranche par son équivalent hexadécimal (voir tableau d’équivalence)

(0011) ₂=(3) ₁₆ ; (1011) ₂=(B) ₁₆

1. 4)On remplace chaque tranche par son symbole équivalent trouvé à l’étape précédente

D’où (111011) ₂ = (3B) ₁₆

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